PENDIDIKAN MATEMATIKA

Program Linear Kelas XI ( K13 Revisi )

Program Linear adalah suatu metode atau progaram untuk menentukan nilai optimal (maksimum atau minimum) dari beberapa pertidaksamaan linear yang diketahui.

Dalam program linear terdapat dua bagian yaitu fungsi kendala (batasan-batasan berupa pertidaksamaan) dan fungsi Objektif (sasaran / tujuan).

Sebagai tambahan sebagai kemudahan dalam mengingat kaitannya dalam materi ini khususnya dalam menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 variabel(peubah)

A. Menentukan Persamaan Garis Sebelum Menjadi Pertidaksamaan

$\begin{array}{|c|c|}\hline \textrm{Gambar (I)}&\textrm{Gambar (II)}\\\hline &\\ &\displaystyle \frac{y-b}{n-b}=\displaystyle \frac{x-a}{m-a}\\ &\\ \textbf{ax+by}=\textbf{ab}&\textrm{atau}\\ &\\ &y=\displaystyle \frac{n-b}{m-a}\left ( x-a \right )+b\\ &\\\hline \end{array}$ .

B. Menentukan Daerah Pertidaksamaan

Adalah koefisien x bertanda positif, maka

$\begin{cases} \textrm{Daerah yang diarsir adalah \textbf{sebelah kiri} garis}\: \: \left (< \textrm{atau} \leq \right ) \\\\ \textrm{Daerah yang diarsir adalah \textbf{sebelah kanan} garis}\: \: \left (> \textrm{atau} \geq \right ) \end{cases}$ .

Coba perhatikanlah ilustrasi berikut!

C. Langkah-Langkah Penyelesaian Program Linear

Hal penting dalam menyelesaikan program linear adalah

Model Matematika dan Penentuan Nilai Optimum Fungsi Objektif

adalapun langkah-langkahnya sebagai berikut:

Membuat model matematika(menerjemahkan persoalan ke dalam bahasa matematika)
Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear (dua variabel) dengan mengarsir daerah yang memenuhi pertidaksamaan (tulisan yang bergaris miring terserah selera pembaca)
menentukan titik-titik sudut (Verteks / titik ekstrem )
Menentukan penyelesaian Optimasi dari fungsi objektif (kadang ditulis sebagai fungsi sasaran / tujuan) f(x,y)=ax+by baik dengan metode uji titik sudut (Verteks / titik ekstrem) atau garis selidik.

$\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 1.&(\textrm{SPMB 2003})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut adalah himpunan semua (x,y)}\\ &\textrm{yang memenuhi} \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{A}.&2x+y\leq 30,\: 3x+4y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{B}.&2x+y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{C}.&x+2y\geq 30,\: 3x+4y\geq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{D}.&x+2y\leq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0\\ \textrm{E}.&2x+y\geq 30,\: 4x+3y\leq 60,\: x\geq 0,\: y\geq 0 \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \textbf{A}\\ &\textrm{Persamaan garisnya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|}\hline \begin{array}{ll|llllllllll}\\ &Y&&&&\\ &&&&&&\\ &15&&&&\\ &&&&&\\ &&&&&&&&&X\\\hline &0&&&&&&20&&\\ \multicolumn{4}{l}{.}&&& \end{array}&\begin{array}{ll|llllllll}\\ &Y&&&&\\ &&&&&&\\ &30&&&&\\ &&&&&\\ &&&&&&&X\\\hline &0&&&15&&&\\ \multicolumn{4}{l}{.}&&& \end{array}\\\hline \begin{aligned}15x+20y&=15\times 20\\ 3x+4y&=60 \end{aligned}&\begin{aligned}30x+15y&=30\times 15\\ 2x+y&=30 \end{aligned}\\\hline \multicolumn{2}{|c|}{\begin{aligned}&\textrm{arsiran sebelah kiri}\\ &\textrm{garis masing-masing yang tersebut}\\ &\textrm{sehingga pertidaksamaan akan berupa} \end{aligned}}\\\hline 3x+4y\leq 60&2x+y\leq 30\\\hline \end{array} \end{aligned}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 2.&(\textrm{SPMB 2004})\\ &\textrm{Daerah yang diarsir pada ilustrasi gambar berikut adalah himpunan penyelesaian}\\ &\textrm{yang dimenuhi oleh} \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{array}{ll}\\ \textrm{A}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{B}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\leq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{C}.&6+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\geq 0\\ \textrm{D}.&6x+5y-30\leq 0,\: x+6y-6\geq 0,\: x-y\leq 0\\ \textrm{E}.&6x+5y-30\geq 0,\: x+6y-6\geq 0,x-y\geq 0 \end{array}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\quad \textbf{C}\\ &\textrm{Perhatikan bahwa}:\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Masing-masing garisnya adalah}:}\\\hline \begin{aligned}6x+5y&=6\times 5\\ 6x+5y&=30 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&=1\times 6\\ x+6y&=6 \end{aligned}&\begin{aligned}x&=y\\ \end{aligned}\\\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textrm{Daerah yang diarsir adalah}}\\\hline \textbf{Sebelah kiri}&\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Sebelah kanan}}\\\hline \begin{aligned}6x+5y&\leq 30\\ 6x+5y-30&\leq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x+6y&\geq 6\\ x+6y-6&\geq 0 \end{aligned}&\begin{aligned}x&\geq y\\ x-y&\geq 0 \end{aligned}\\\hline \end{array} \end{aligned}$ .

$\begin{tabular}{lp{20.0cm}}\\ 3.&Seorang penjahit memiliki persediaan 16 m kain sutera, 15 m katun, dan 11 m rayon yang hendak dibuat dua buah model dengan rincian sebagai berikut.\\ &Model A memerlukan 2 m sutera, 1 m katon, dan 1 m rayon per unit.\\ &Model B memerlukan 1 m sutera, 3 m katun, dan 2 m rayon perunit.\\ &Jika keuntungan pakaian model A adalah Rp3.000,00 per unitnya dan model B akan memberikan keuntungan per unitnya Rp5.000,00 , maka tentukanlah berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat didapatkan keuntungan yang sebesar-besarnya! \end{tabular}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Jawab}:\\ &\textrm{Persoalan tersebut di atas bila dituliskan ke dalam tabel adalah sebagai berikut}:\\ &\begin{array}{|l|c|c|c|}\hline \textrm{Bahan Kain}&\textrm{Model A} &\textrm{Model B}&\textrm{Tersedia}\\\hline \textrm{Sutera}&2&1&16\\\hline \textrm{Katun}&1&3&15\\\hline \textrm{Rayon}&1&2&11\\\hline \textrm{Keuntungan}&3.000&5.000&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Dan untuk \textbf{model matematika}nya adalah}:\\ &\begin{array}{|c|c|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Proses Penyelesaian persoalan Program Linear}}\\\hline \textbf{Permasalahan}&\textbf{Fungsi Tujuan}&\textbf{Kendala-Kendala}\\\hline \begin{aligned}&\textrm{Menentukan keuntungan}\\ &\textrm{sebesar-besarnya} \end{aligned}&f(x,y)=3000x+5000y&\textcircled{1}\quad 2x+y\leq 16\\ &&\textcircled{2}\quad x+3y\leq 15\\ &&\textcircled{3}\quad x+2y\leq 11\\ &&\textcircled{4}\quad x\geq 0\\ &&\textcircled{5}\quad y\geq 0\\\hline \end{array}\\ & \end{aligned}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Langkah berikutnya adalah menentukan titik \textbf{verteks/ektrim}}:\\ &\textrm{Perhatikan ilustrasi gambar berikut}\\ &\textrm{daerah yang tidak berarsir adalah \textbf{daerah/wilayah penyelesaian}} \end{aligned}$ .

$.\, \quad\begin{aligned}&\textrm{Dengan bantuan ilustrasi gambar kita mendapatkan koordinat \textbf{titik-titik pojok (verteks/ektrem)}}:\\ &\textrm{yaitu A(8,0), B(7,2), C(3,4), dan D(0,5) khusus titik (0,0) tidak diperlukan }\\ &\textrm{karena yang diinginkan adalah nilai maksimal (keuntungan terbesar)}\\ &\begin{array}{|c|c|c|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{f(x,y) = 3000x+5000y}}\\\hline \textrm{Titik Vertek}&\textrm{Nilai Optimum}&\textrm{Keterangan}\\\hline A(8,0)&f(A)=f(8,0)=3000(8)+5000(0)=24000&\textbf{Minimum}\\\hline B(7,2)&f(B)=f(7,2)=3000(7)+5000(2)=31000&\textbf{Maksimum}\\\hline C(3,4)&f(C)=f(3,4)=3000(3)+5000(4)=29000&\\\hline D(0,5)&f(D)=f(0,5)=3000(0)+5000(5)=25000&\\\hline \end{array}\\ &\textrm{Jadi, supaya penjahit medapat keuntungan \textbf{sebesar-besarnya} (Rp31.000,00), maka ia}\\ &\textrm{harus \textbf{membuat 7 unit} model A dan \textbf{2 unit} model B} \end{aligned}$ .

$\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{LATIHAN SOAL}}}}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 1.&\textrm{Tunjukkan pada \textbf{bidang Cartesius} wilayah himpunan penyelesaian dari}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&x< -5&\textrm{e}.&x> 2&\textrm{i}.&\left | y \right |> 1\\ \textrm{b}.&x\leq -5&\textrm{f}.&y\leq -3&\textrm{j}.&\left | y \right |\geq 4\\ \textrm{c}.&y> 7&\textrm{g}.&\left | x \right |< 2&\textrm{k}.&\left | x \right |+\left | y \right |< 4\\ \textrm{d}.&y\geq 7&\textrm{h}.&\left | x \right |\leq 2&\textrm{l}.&\left | x \right |+\left | y \right |\geq 4 \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 2.&\textrm{Tunjukkan pada \textbf{bidang Cartesius} wilayah himpunan penyelesaian dari}\\ &\begin{array}{llllllll}\\ \textrm{a}.&0\leq x< 3&\textrm{e}.&0\leq y\leq 3\\ \textrm{b}.&-5<x\leq -3&\textrm{f}.&-3\leq y\leq 0\\ \textrm{c}.&0\leq x\leq 3&\textrm{g}.&-3\leq 2x< 0\\ \textrm{d}.&-3\leq x\leq 0&\textrm{h}.&0\leq 2y< 3 \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 3.&\textrm{Tunjukkan pada \textbf{bidang Cartesius} wilayah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan}\\ &\begin{array}{llllllllll}\\ \textrm{a}.&\begin{cases} 2x+5y\geq 10 \\ x\geq 2 \\ y\leq 1 \end{cases}&\textrm{b}.&\begin{cases} x+y\leq 6 \\ 2x+3y\leq 12\\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}&\textrm{c}.&\begin{cases} x+y\leq 6 \\ 5x+9y\leq 45\\ 2x+y\leq 10\\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases} \end{array} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 4.&\textrm{Tentukann nilai optimum(minimum dan maksimum) dari fungsi objektif}\: \: f(x,y)=7x+2y\\ &\textrm{dengan wilayah kendala}\\ &\begin{cases} 2y-x\geq 0 \\ x+y\leq 8\\ 7x+2y\leq 14\\ x\geq 0,\: y\geq 0\\ x,y\in \mathbb{R} \end{cases} \end{array}$ .

$\begin{array}{ll}\\ 5.&\textrm{Wilayah yang diarsir berikut di bawah adalah wilayah himpunan penyelesaaian, tentukanlah}\\ &\textrm{a}.\quad \textrm{sistem pertidaksamaan tersebut}\\ &\textrm{b}.\quad\textrm{nilai maksimum dan minimum bila fungsi objektifnya}\: \: f(x,y)=x+4y \end{array}$ .

PENDIDIKAN MATEMATIKA

Minggu, 08 Desember 2019

Program Linear Kelas XI ( K13 Revisi )

Tidak ada komentar:

Posting Komentar